Постройте сечение тетраэдра sabc плоскостью параллельной грани sab

Стереометрия. Задачи на построение сечений

В задачах на построение сечений мы применяем все те определения, теоремы, свойства и признаки, которые изучаем и доказываем на уроках в школе.

Например, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Это значит, что плоскость сечения и, например, плоскость грани пирамиды будут пересекаться по прямой, и на чертеже будет показана часть этой прямой – отрезок.

Как вы думаете — может ли восьмиугольник быть сечением куба?

И может ли правильный пятиугольник быть сечением куба?

Чтобы соединить какие-либо две точки на чертеже, нам нужна плоскость, в которой эти точки лежат. Иногда это грань объемного тела. Иногда – вспомогательная плоскость.

А вообще сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении объемного тела плоскостью и граница которой лежит на поверхности этого объемного тела.

Конечно, восьмиугольник сечением куба быть не может. Ведь у куба 6 граней, и поэтому сечение куба не может иметь больше 6 сторон.

При построении сечений мы часто используем следующие теоремы:

1. Линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Именно поэтому правильный пятиугольник не может быть сечением куба. Ведь 4 из 5 сторон этого пятиугольника лежат в параллельных гранях куба и поэтому параллельны. А у правильного пятиугольника параллельных сторон нет.

2. Теорема о прямой и параллельной ей плоскости:

Пусть прямая m параллельна плоскости α. Если плоскость β проходит через прямую m и пересекает плоскость α по прямой c, то c параллельна m.

Эта теорема помогает, например, при построении сечений пирамиды.

Разберем несколько задач на построение сечений.

1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K. Точка М лежит на ребре AD, N — на ребре DC, К — на ребре АВ.

Проведем МК в плоскости грани ABD и MN в плоскости грани ADC.

Проведем РК в плоскости нижней грани; четырехугольник — искомое сечение.

2. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K. Точка N лежит на ребре

Покажем, что плоскость сечения пересекает плоскость основания пирамиды по прямой NT, параллельной МК.

Прямая МК параллельна АВ, лежащей в плоскости основания АВС. Значит,

Плоскость сечения проходит прямую МК, параллельную плоскости АВС. По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и плоскости АВС параллельна прямой МК. Трапеция MKNT — искомое сечение.

3. Постройте сечение куба проходящее через вершину и середины ребер и

Пусть М — середина АВ, N — середина ВС, Продолжим прямую MN до пересечения с продолжениями ребер DC и AD;

Треугольники АМР и KCN — прямоугольные равнобедренные, причем

Проведем — в плоскости задней грани и — в плоскости левой грани куба;

Пятиугольник — искомое сечение. В нем есть параллельные стороны: так как линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

4. Постройте сечение куба проходящее через вершину В и середины ребер и

Пусть М — середина ребра , N — середина ребра

Поскольку линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны, плоскость сечения пересекает заднюю грань по прямой, параллельной ВМ, а левую грань — по прямой, параллельной BN. Тогда искомое сечение — ромб

5. Постройте сечение правильного тетраэдра АВСS, проходящее через точку К — середину ребра АВ, точку М, делящую ребро АS в отношении , и точку N — середину апофемы грани SBC.

Пусть SH — апофема грани SBC; N—середина SH.

Проведем MN в плоскости ASH;

Четырехугольник KMEF — искомое сечение.

Постройте сечение правильного тетраэдра АВСS, проходящее через точку К — середину ребра АВ, и точки М и Т — центры граней АSС и SBC.

Пусть SЕ и SH — апофемы граней ASC и SBC; точки М и Т делят отрезки SЕ и SH в отношении 2:1, считая от точки S.

Из подобия треугольников SMT и SEH получим, что Значит

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и нижней грани параллельна прямой МТ. Это значит, что плоскость сечения пересекает грань АВС по прямой АВ. Достроим сечение.

7. Постройте сечение куба , проходящее через точку М, лежащую на ребре и точки Т и К, принадлежащие граням АВС и .

Точки М и К лежат в плоскости задней грани . Соединив М и К, получим, что

Соединив точки Р и Т в нижней грани, получим FN — линию пересечения плоскости сечения с нижней гранью;

. Трапеция FMEN — искомое сечение.

8. И самый сложный случай. Построим сечение куба плоскостью МNK, где , причем расстояния от точек М и N до плоскости АВС различны.

Пусть точки и — проекции точек M и N на плоскость нижней грани

Плоскость проходит через параллельные прямые и .

Проведем в этой плоскости MN и

Точки Р и К лежат в нижней грани куба, следовательно, плоскость сечения пересекает нижнюю грань по прямой РК. Дальнейшее построение — очевидно.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Стереометрия. Задачи на построение сечений» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Источник

Практикум по построению сечений тетраэдра и параллелепипеда

тетраэдра и параллелепипеда

1. Построить сечение тетраэдра РАВС плоскостьюXYZ , еслиX лежит на ребре РА,Y — на ребре РВ, аZ – на ребре ВС
2. Построить сечение тетраэдраSABC плоскостьюPMN , еслиP принадлежит ребруAS ,N – ребруSC ,M — ребруAB .
3. Построить сечение куба АВСДА₁В₁С₁Д₁ плоскостью, если оно проходит через диагональАД₁ и середину М ребра ВВ₁
4. Построить сечение куба АВСДА₁В₁С₁Д₁ проходящей через точки В₁, М, принадлежащей ребру АА₁ и делящей его в отношении 1 : 2 иN , лежащей на ребреCC ₁ , причем СN =1/3CC ₁
5. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, АА₁, А₁Д₁
6. Построить сечение тетраэдра плоскостью, параллельной ребру АС и проходящей через точки: М на ребре СД иN , лежащей в грани АВД (рассмотреть два варианта)
7. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М и Е, лежащие в грани АВС, и точку К, лежащую в грани ВДС
8. На ребрах АА₁ и СС₁ параллелепипеда расположены точки М иN . Построить сечение , проходящее через эти точки, параллельно ВД

тетраэдра и параллелепипеда

1. Построить сечение тетраэдра РАВС плоскостьюXYZ , еслиX лежит на ребре РА,Y — на ребре РВ, аZ – на ребре ВС
2. Построить сечение тетраэдраSABC плоскостьюPMN , еслиP принадлежит ребруAS ,N – ребруSC ,M — ребруAB .
3. Построить сечение куба АВСДА₁В₁С₁Д₁ плоскостью, если оно проходит через диагональАД₁ и середину М ребра ВВ₁
4. Построить сечение куба АВСДА₁В₁С₁Д₁ проходящей через точки В₁, М, принадлежащей ребру АА₁ и делящей его в отношении 1 : 2 иN , лежащей на ребреCC ₁ , причем СN =1/3CC ₁
5. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, АА₁, А₁Д₁
6. Построить сечение тетраэдра плоскостью, параллельной ребру АС и проходящей через точки: М на ребре СД иN , лежащей в грани АВД (рассмотреть два варианта)
7. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М и Е, лежащие в грани АВС, и точку К, лежащую в грани ВДС
8. На ребрах АА₁ и СС₁ параллелепипеда расположены точки М иN . Построить сечение , проходящее через эти точки, параллельно ВД

Источник

Методическая разработка «Построение сечений»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РТ

ГАОУ ВПО «Альметьевский государственный институт муниципальной службы»

Для студентов ССУЗов по разделу

«Построение сечений многогранников»

Составила: Хадеева Залфира Махмудовна

среднего профессионального образования

Тема: Построение сечений многогранников

1) Ввести понятия сечения многогранников

2) Сформировать у учащихся умения строить сечения в пространственных фигурах.

3)Способствовать формированию практических компетенций в выборе наиболее рациональных способов решения задач.

4) Развивать пространственное воображение у учащихся при решении геометрических задач

5)Развивать геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся

6) Воспитывать самостоятельность познавательного интереса к предмету

Тип урока: урок формирования новых понятий.

Все чертежи выполнены в программе Paint

Презентация выполнена в программе: Microsoft PowerPoint

2) Актуализация знаний о пространственных фигур

3) Изучение нового материала:

А) сечение тетраэдра с плоскостью

Б) сечение куба, параллелепипеда с плоскостью

В) сечение пирамиды с плоскостью

4) формирование практических навыков и самостоятельная работа с самопроверкой

5) постановка домашнего задания и подведение итогов.

Оборудование: Компьютер, интерактивная доска, раздаточный материал в виде готовых чертежей с задачами, макеты многогранников, индивидуальные карточки.

Методы работы: наглядный, практический, проблемно-поисковый, метод самостоятельной работы, метод контроля

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая, самостоятельная

Преподаватель проверяет готовность учащихся к занятию по темам: «Тетраэдр», «Параллелепипед», «Свойства параллельных плоскостей». Также преподаватель ознакомляет студентов с темой занятия: «задачи на построение сечений в многогранниках и решение задач связанных сечением».

Учащийся №1 выходит к доске с сообщением и презентацией на тему «Тетраэдр», одновременно на мультимедийном экране высвечивается изображение тетраэдра, для того чтобы учащийся смог наглядно продемонстрировать элементы фигуры. (ребра, грани, вершины, боковые грани)

Учащийся №2 выходит к доске с сообщением презентацией на тему «Параллелепипед и его свойства», одновременно на мультимедийном экране высвечивается изображение тетраэдра, для того чтобы учащийся смог наглядно продемонстрировать элементы фигуры. (ребра, грани, вершины, боковые грани)

Учащийся №3 выходит к доске с сообщением и презентацией о признаках параллельности двух плоскостей. Одновременно на мультимедийном экране высвечиваются изображения соответствующие данной теме докладчика.

3. Изучение нового материала.

— Сечение многогранников плоскостью используется при решении многих стереометрических задач. Рассмотрим сечение плоскостями проходящими через данные точку и прямую, через три данные точки, а также сечения, способ задания которых содержит условия параллельности сечения данной плоскости, данной прямой или двум данным прямым.

Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. Точки пересечения плоскости сечения с ребрами многогранника будут вершинами, а отрезки, принадлежащие граням, — сторонами многоугольника, получившегося в сечение. [1, C 27-29].

Рассмотрим простые задачи

Провести сечение через ребро AD и точку М ребра CB .

Провести сечение через D и точки M и N на ребрах AB и BC

Вывод делают учащихся: Построение сечения основано на простом следствии из аксиом стереометрии: Если две плоскости имеют две общие точки , то прямая проходящая через эти точки, является линией пересечения данных плоскостей.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку

M ребра AD параллельно грани ABC .

( ) = , , Проведем через точку M прямую, параллельную прямой AB и в пересечении ее с ребром BD находим вершину P сечения. Отрезок MP сторона сечения. Аналогично , . [ 4 , C 366 – 373].

Вывод: Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.

Преподаватель: Тетраэдр имеет четыре грани, поэтому его сечение могут быть треугольники и четырехугольники.

Рассмотрим построение сечения тетраэдра плоскостью, проходящие через точки M, N, P на ребрах тетраэдра. Точки M и N заданы так,

а) прямые MN и АС не параллельны

б) прямые MN и АС параллельны.

а) Отрезки MN и NP являются сторонами сечения. Точка Р- общая для плоскостей MNP и ABC. (рис.а)

Вторую общую точку находим в пересечении прямых MN и АС

(рис.б).

Прямая SP линия пересечения плоскостей MNP и ABC и пересечение этой прямой с ребром АВ дает вершину Q.

Q , сечение тетраэдра MNPQ (Слайд 5) [2, C -12]

б) Если MN AC , то прямая MN параллельна грани АВС, значит плоскость MNP пересекает эту грань по прямой QP ,параллельной прямой MN, Q-точка пересечения ребра СВ.(рис в)

Вывод: Если плоскость и проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.(Слайд 6) [3, C -8]

Преподаватель: Рассмотрим несколько нестандартных задач

Задача 1. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью MNP , где точка М расположена на ребре AD , точка N в грани BCD и точка Р в грани АВС тетраэдра

Для того чтобы построить линию пересечения плоскости какой-либо грани с плоскостью MNP , необходимо найти еще оду общую точку для этих плоскостей. Тоска Р – общая для плоскостей АВС и MNP . Второй общей точкой является точка перечения прямой MN с плоскостью АВС.

Через точки M , N и вершину D тетраэдра проводим плоскость, строим ее линию пересечения А с плоскостью АВС. Общая тоска прямых MN и A и является точкой пересечения прямой MN с плоскостью АВС.

Прямая P — линия пересечения плоскостей MNP и АВС. Вершины и находим как точки пересечения прямой P c ребрами ВС и АВ, пересечение прямой N с ребром CD дает вершину . Получим сечение – четырехугольник M (Слайд 7) 4 , С 373 ].

Задача 2. Построить сечение тетраэдра по трем точкам: М – в грани АВС, N – в грани BCD и Р – в грани АС D .

Для нахождения точки пересечения прямой MN с плоскостью ACD проведена вспомогательная плоскость через эту прямую и вершину В тетраэдра.

Прямая – пересечение этой плоскости с плоскостью ACD . Точка является точкой пересечения прямой MN с плоскостью ACD .(Слайд 8) [4, C -372].

Преподаватель: Рассмотрим, какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда. Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки M , N , P .

1 случай, когда эти точки лежат на ребрах, выходящих из одной вершины (Слайд 9)

2 случай. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющихся либо вершинами куба, либо серединами его ребер (Слайд 9)

3 Случай. Если три точки M , N , P расположены так, как показано, то сначала нужно провести отрезки MN и NP , затем через точку М провести прямую параллельную NP , а через точку Р провести прямую, параллельную MN . Пересечение этих прямых с ребрами нижней грани дают точки Q и D . Остается провести QD искомое сечение MNPQD (Слайд 10)

4 Случай. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки , , (Слайд 10)

Вывод: В сечении параллелепипеда могут получиться треугольники, четырехугольники, прямоугольники, шестиугольники

4. Формирование практических навыков

Работа с карточками

1.1 Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC

1.2 Построить сечение тетраэдра, проходящие через точки M , N и P

1.3 Построить сечение тетраэдра плоскостью, параллельной ребру АС и проходящий через точку М ребра CD и точку N в грани ABD .

2.1 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки MNP

2.2 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящий через точки A , B и C NDK

2.3 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки MNP

2.4 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки MNP

M ASB

P ABC

3.1 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящий через точки А, В, С.

4.1 Построить сечение параллелепипеда, проходящие через точки M , N , P .

4.2 Постройте сечение через точки A , , M

4.3 Постройте сечение через точки А, М, С

5.1 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N , P

5.2 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N , P

6.1 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N , P

6.2 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N , P

6.3 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N , P

По окончании работы учащиеся проверяют свое решение, которое высвечивается на мультимедийном экране. Учащиеся оценивают свою работу по бальной системе, результаты сдаются преподавателю.

5. Постановка домашнего задания

Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки M , N , P

Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки M , N , P

Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки M , N , P

Преподаватель подводит итоги занятия и оглашает заработанные баллы

Список использованных источников и литературы

1. Геометрия. 10 – 11 классы: учеб. Для общеобразоват. Учреждений: базовый и профил. уровни/ [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 255с.

2. Еженедельная учебно-методическая газета: Математика/ Издательский дом: Первое сентября., №8, 2013г.

3. Еженедельная учебно-методическая газета: Математика/ Издательский дом: Первое сентября., №5, 2004г.

4. Пособие по математике для поступающих в ВУЗЫ / Под редакцией Г.Н. Яковлева. – М: Наука, 1981. – 608с.

Источник