Построение сечений методом следов 10 класс

Презентация «Метод следов»

Описание метода следов для построения сечений

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Геометрия, 10 класс Тема : Построение сечений многогранников методом «следа». Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Секущей плоскостью многогранника называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данного многогранника. Сечением многогранника называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости. Основные понятия Рис.1 Рис.2

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, поэтому сечение многогранника есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости. Очевидно, что количество сторон этого многоугольника не может превышать количества граней данного многогранника. Например (см.рис.3), в пятиугольной призме (всего 7 граней) в сечении могут получиться: треугольник, 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник или 7-угольник. Рис.3

Две плоскости пересекаются по прямой (эта аксиома и дала названию метода – под «следом» понимается прямая пересечения какой-либо грани многогранника и секущей плоскости). Получение «следа» сводится к получению двух точек, принадлежащих одновременно какой-нибудь грани многогранника и секущей плоскости (подумайте, почему именно двух!?). Точки получаются как пересечение двух прямых, принадлежащих одной и той же плоскости . ПРИМЕЧАНИЕ . Не забудьте, что прямая и плоскость являются бесконечными в пространстве фигурами! Проследим на примере построение сечения куба плоскостью, заданной тремя данными точками M , N и K.

A B C D B 1 C 1 D 1 M N K Выбираем точки М и N , принадлежащие одной грани и строим прямую MN – «след» пересечения правой грани и секущей плоскости. A 1 ПРИМЕР 1.

A B C D B 1 C 1 D 1 M N K A 1 E Теперь обращаем внимание, что ребро куба В 1 С 1 лежит в одной грани с третьей точкой сечения К (верхней) и в одной грани с появившейся прямой MN (правой). Находим точку пересечения этих прямых – точку Е. ПРИМЕР 1.

A B C D B 1 C 1 D 1 M N K A 1 E Точки Е и К принадлежат верхней грани и секущей плоскости. Значит, прямая ЕК – «след» их пересечения и F  D 1 C 1 , EK. F ПРИМЕР 1.

A B C D B 1 C 1 D 1 M N K A 1 E F Далее видим, что ребро куба А 1 В 1 лежит в одной грани с появившимся следом ЕК (верхней). Находим точку пересечения этих прямых – точку G . G ПРИМЕР 1.

A B C D B 1 C 1 D 1 M N K A 1 E F G Полученная точка G лежит в одной грани с точкой М (в передней) и обе точки принадлежат секущей плоскости – значит, прямая GM – очередной «след»! Причем, GM ∩ АА 1 =Н. H ПРИМЕР 1.

A B C D C 1 D 1 M N K A 1 E F G H Остается соединить отрезками все пары точек, лежащие в секущей плоскости и в одной грани куба. Полученный пятиугольник MNFKH – искомое сечение куба. B 1 ПРИМЕР 1.

ПРИМЕР 2. M N K Построить сечение четырехугольной пирамиды, заданное точками M,N и K . Проследите за ходом построения сечения и запишите его.

ПРИМЕР 3. Построить сечение пятиугольной призмы, заданное точками M,N и K . Проследите за ходом построения сечения и запишите его. M N K

M N K Рассмотрим теперь более сложные примеры ПРИМЕР 4.

M N K Помним о том, что вершина пирамиды – общая точка для всех боковых граней! ПРИМЕР 5.

Плоскость сечения может задаваться: 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой; 2) прямой и точкой, не лежащей на ней; 3) двумя пересекающимися прямыми; 4) двумя параллельными прямыми. Все эти случаи можно свести к первому, выбирая на прямых удобные для нас точки.

Заключение Данный метод построения сечений многогранников можно применять, если найдется хотя бы одна пара точек, лежащих в секущей плоскости и одной грани многогранника. После чего задача циклично алгоритмизируется в получение очередной точки и очередного «следа». ПРИМЕЧАНИЕ. Если такой пары точек не найдется, то сечение строится методом параллельных проекций. Но это уже тема нового урока!

Источник

Конспект урока геометрии «Построение сечений многогранников методом следов»
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

Разработка урока геометрии предназначена для 10 класса с углубленным изучением математики. Конспект содержит разноуровневые графические задания.

Скачать:

Предварительный просмотр:

План-конспект урока геометрии

« Построение сечений многогранников

Тема: Построение сечений многогранников методом следов.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

• Формирование у учащихся навыков решения задач на построение сечений методом следов.
• Формирование и развитие у учащихся пространственного воображения.
• Развитие графической культуры и математической речи.

Формы организации учебной деятельности: групповая, коллективная, индивидуальная.

Техническое обеспечение урока: набор геометрических тел (куб, параллелепипед, пирамида).

1. Организационный момент. (1 мин)
2. Актуализация знаний. (3 мин)
3. Изучение нового материала. (15 мин)
4. Первичная проверка понимания. (7 мин)
5. Применение знаний. (6 мин)
6. Закрепление знаний и умений. (10 мин)
7. Проверка, контроль и оценка знаний. (3 мин)
8. Подведение итогов занятия. (1 мин)
9. Информация о домашнем задании. (1 мин)

На каждом столе – набор тел, памятки-опоры, карточки для индивидуальной работы по построению сечений.

На уроках черчения вы пользовались определением: Сечение – это изображение фигуры, которая получается при мысленном рассечении тела плоскостью.

Вот таким определением мы и будем пользоваться сегодня на уроке.

В тетраэдре сечениями могут быть только треугольники или четырехугольники, а в параллелепипеде – треугольники, четырехугольники, пятиугольники или шестиугольники.

Аксиома 1 . Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и причем только одна.

Аксиома 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Аксиома 3 . Если 2 плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Способы задания плоскости.

3. Изучение нового материала.

Метод следов включает три важных пункта:

1. Строится линия пересечения (след) секущей плоскости с плоскостью основания многогранника.
2. Находим точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника.
3. Строим и заштриховываем сечение.

Задание 1 . (Учитель на доске делает разбор задачи).

Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L.

Источник

Урок геометрии по теме: «Построение сечений в многогранниках методом следов». 10-й класс

Девиз: “Мы одна семья, мы учимся все вместе”

Цели урока:

• Формирование у учащихся навыков решения задач на построение сечений методом следов.
• Формирование и развитие у учащихся пространственного воображения.
• Развитие графической культуры и математической речи.

Обучающая цель: формирование умений и навыков построения сечений методом следов.

Воспитывающая цель: воспитывать чувство сплоченности, взаимопомощи, воспитывать умения работать индивидуально над задачей.

Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний.

Формы организации учебной деятельности: групповая, индивидуальная, коллективная.

Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, набор геометрических тел (куб, параллелепипед, пирамида).

Организационный момент: Рассаживаемся на 3 группы по 5 человек. На каждом столе – набор тел, памятки-опоры, карточки для индивидуальной работы по построению сечений.

Слово учителя: Вы изучили аксиомы стереометрии, следствия из аксиом, теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. При решении многих стереометрических задач используют сечение многогранника плоскостью. Существует несколько методов построения сечений многогранника плоскостью: метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод.

1) Ребята, я предлагаю вам повторить и вспомнить некоторые геометрические понятия и определения.

1. Основное понятие геометрии – место пересечения двух прямых, не имеющее измерения.
2. Геометрическая фигура, состоящая из шести квадратных граней.
3. Отдельный предмет в пространстве.
4. Способ изображения пространственных фигур на плоскость.
5. Плоская фигура, образуемая пересечением тела плоскостью.
6. Сторона грани многогранника.
7. Многогранник, поверхность которого состоит из четырех треугольников.

2) Ребята, перед вами пример неправильного построения сечения куба АС1 плоскостью, проходящей через заданные точки N, C, D1.

А рядом сечение построено верно.

На уроках черчения вы пользовались определением: Сечение – это изображение фигуры, которая получается при мысленном рассечении тела плоскостью.

Вот таким определением мы и будем пользоваться сегодня на уроке.

В тетраэдре сечениями могут быть только треугольники или четырехугольники, а в параллелепипеде – треугольники, четырехугольники, пятиугольники или шестиугольники.

Метод следов включает три важных пункта:

1. Строится линия пересечения (след) секущей плоскости с плоскостью основания многогранника.
2. Находим точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника.
3. Строим и заштриховываем сечение.

Рассмотрим пример (мультимедийный проектор).

Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L.

Алгоритм построения

Источник