Как определить положение нулевой линии сечения

12.2.2. Определение положения нейтральной линии

Уравнение нейтральной линии определим из условия, что нормальные напряжения на ней равны нулю, т.е.

Подставляя в это выражение значения внутренних сил: и , получим после преобразований следующие уравнение нейтральной линии:

где

Из полученного уравнения следует, что нейтральная линия является прямой, не проходящей через центр тяжести сечения, Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осяхи, соответственно равны

Так как величины иположительны, то нейтральная линия всегда проходит через квадрант, противоположный квадранту точки приложения внешней силы.

12.2.3. Ядро сечения

В зависимости от координат точки приложения внешней силыF нейтральная линия может как пересекать сечение, так и находиться за его пределами. В первом случае в поперечном сечении возникают напряжения разных знаков, а во втором – одного знака.

Ядром сечения называется область вокруг центра тяжести сечения, которая обладает следующим свойством: если точка приложения внешней продольной силы расположена внутри ядра сечения, то во всем сечении возникают напряжения одного знака.

Границы ядра сечения определяются из условия, чтобы нейтральная линия касалась контура сечения. Для этого необходимо задать различные положения нейтральной линии, касательные контуру сечения, т.е. отрезки и, и определить соответствующие координаты точки приложения продольной силы по формулам

В случае круглого сечения радиуса R ядром сечения является круг радиуса (рис. 34,а), а в случае прямоугольного сечения размерами – ромб с диагоналямии(рис. 34,б).

Рис. 34. Ядро сечения: а– для круглого поперечного сечения;

б– для прямоугольного поперечного сечения

13. Расчет сжатых стержней на устойчивость

13.1. Устойчивые и неустойчивые формы равновесия

Равновесие абсолютно твердого тела может быть устойчивым, безразличным и неустойчивым. Например, шар, расположенный на вогнутой поверхности (рис. 35, а), находится в состоянии устойчивого равновесия. Если его отклонить в сторону и предоставить самому себе, то он возвратится в исходное положение. Шар, расположенный на горизонтальной поверхности (рис. 35, б), находится в состоянии безразличного равновесия. Если произвести его отклонение, то он не возвращается в исходное положение, но и не продолжает движение. Шар, расположенный на выпуклой поверхности (рис. 35, в), находится в состоянии неустойчивого равновесия. Если его отклонить в сторону и предоставить самому себе, то он, не возвращаясь в исходное положение, продолжает движение.

Рис. 35. Равновесие шара:а – устойчивое, б – безразличное,

Аналогично можно рассматривать проблему устойчивости и для деформируемого тела. Например, длинный стержень, нагруженный вдоль оси сжимающей силой, также может иметь три формы равновесия, которые зависят от величины силы. Ее критическое значение F_cr определяет граничное состояние. При F F_cr прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой (рис. 36, в). Отклоненный в сторону и предоставленный затем самому себе, он продолжает искривляться.

Отклонение стержня от исходного состояния предполагает его искривление. На практике причиной этому могут быть действие силы с некоторым эксцентриситетом, начальная кривизна стержня. Пока сжимающая сила меньше критической, перемещения точек стержня будут небольшими, вследствие чего он сохраняет принимаемую за прямолинейную форму равновесия.

Когда сила превышает порог критического значения, упомянутые перемещения чрезвычайно быстро возрастают, вследствие чего прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой.

Таким образом, теоретически неограниченный рост перемещений при ограниченном росте сжимающей силы может быть принят за критерий потери устойчивости. Практически, неограниченный рост перемещений приостанавливается вследствие исчерпания прочности материала.

Потеря устойчивости возможна также при изгибе, кручении и сочетании отдельных видов деформаций.

На рис. 37 стрелками указанны возможные направления изгиба стержней при действии продольной сжимающей силы.

Рис. 37. Направления изгиба стержней для различных сечений

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Внецентренное растяжение-сжатие

Бетонный столб заданного сечения сжимается силой F=100кН, приложенной в точке К. Требуется:

1) Найти положение нулевой линии и проверить прочность, если [σс]=15МПа, [σр]=0,5МПа.

2) Построить ядро сечения.

Для решения задачи необходимо знать геометрические характеристики сечения, то есть положение центра тяжести, величину площади, положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции. С этого и начнем. Так как сечение имеет одну ось симметрии у, то она является одной из главных центральных осей. Другая главная центральная ось пройдет перпендикулярно оси симметрии через центр тяжести сечения. Нам неизвестно его положение на оси симметрии. Для его определения выберем произвольную ось, перпендикулярную оси симметрии (например, х1), вычислим статический момент сечения относительно этой оси, а затем разделим его на площадь сечения. Это и будет расстояние от оси х1 до центра тяжести сечения С.

Но поскольку сечение представляет собой сложную фигуру, то предварительно «разобьем» его на простые части и покажем на чертеже собственные центральные оси каждой из этих частей (х1, у1; х2, у2; х3, у3; х4, у4). Итак:

Откладываем эту ординату вверх от оси х1 по оси симметрии, это и есть центр тяжести сечения С, через который проводим вторую главную центральную ось х.

Остается вычислить осевые моменты инерции относительно каждой из осей.

Тогда квадраты радиусов инерции относительно главных центральных осей будут:

Для определения положения нулевой линии в сечении необходимо вычислить величины отрезков, которые нулевая линия отсекает от главных центральных осей инерции, по формулам:

Здесь: хF и уF – координаты точки приложения силы F в системе главных центральных осей. В нашем случае : хF =50см, уF=30-12,8=17,2см.

Отложив эти отрезки с учетом их знаков, проводим нулевую линию (см. чертеж), которая делит сечение на две зоны: сжатую и растянутую:

Для оценки прочности надо найти наибольшие напряжения: сжимающие и растягивающие, а затем сопоставить их с допускаемыми напряжениями.

Наибольшее сжимающее напряжение возникает в той точке сжатой зоны, которая наиболее удалена от нулевой линии. Судя по чертежу, эта точка К с координатами хК=50см и уК=17,2см. Подставляя эти координаты в формулу напряжений, имеем:

Наиболее удаленной от нулевой линии точкой в растянутой зоне является точка В с координатами хВ=50см и уВ=- (30+12,8)=-42,8см. В ней и возникает наибольшее растягивающее напряжение:

Следовательно, заданная прочность не обеспечена, так как в растянутой зоне условие прочности не выполняется.

Для построения ядра сечения задаемся несколькими конкретными положениями нулевой линии так, чтобы она только касалась контура самого сечения и нигде его не пересекала, и для каждого такого положения нулевой линии вычисляем координаты соответствующего ей центра давления. Эти точки и определят контур самого ядра сечения.

На схеме показывает центр давления 1.

Для нулевой линии II отрезок, отсекаемый от оси х,составит величину

От оси у Н.Л. II отсекает отрезок

Тогда соответствующий центр давления расположится в точке с координатами:

На схеме это точка 2.

Нулевая линия III симметрична нулевой линии II, поэтому и правая точка 3 симметрична точке 2.

А нулевая линия IV симметрична линии I. Следовательно, ядровая точка 4 симметрична точке 1.

Наконец, проводим нулевую линию V по нижней кромке сечения. Она отсекает от главных центральных осей отрезки: ах=∞ и ау=-42,8см. Соответствующие координаты центра давления будут:

На схеме это точка 5.

Поскольку переходы нулевых линий из одного положения в смежное с ним происходили путем поворота вокруг неподвижных точек, то и перемещение центра давления от одной ядровой точки к другой происходит по прямой линии, соединяющей эти точки. На этом основании соединяем найденные ядровые точки прямыми, которые и ограничивают область, называемую ядром сечения.

Источник